//
you're reading...
ALJABAR

Bilangan Kompleks dan Matriks

Saya merasa tergelitik sekaligus tertantang oleh pertanyaan seorang siswa ketika belajar tentang persamaan kuadrat. Siswa tersebut bertanya : “ Pak apa itu diskrimanan ?, kenapa mesti mencari diskriminan ?, kenapa kalau diskrimanan kurang dari 0 kita hanya menjawab akar-akarnya imajiner ?, dengan mimik yang semakin menunjukkan rasa penasaran atau mungkin hanya sekedar iseng siswa tersebut dengan berkelakar bertanya PAK IMAJINER ITU BILANGAN ATAU MAKHLUK HALUS ? “ .
Atas dasar pertanyaan siswa tersebut akhirnya saya mencoba menulis tentang “ apa itu bilangan imajiner “.
Bilangan imajiner lahir dari kenyataan akan solusi persamaan kuadrat berbentuk x^2+1=0, tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut. Secara sederhana, bilangan imajiner didefinisikan sebagai \sqrt{-1}=i , atau bilangan yang memenuhi i^2=-1. Perlu ditekankan bahwa i bukan bilangan real. Dengan asumsi ini kita dapat mendefinisikan bilangan kompleks yaitu bilangan yang berbentuk z=a+bi dengan a,bR.
Pada uraian di atas tampak bahwa pendefinisian bilangan kompleks terlalu dibuat-buat, mulai dari yang tidak ada yaitu \sqrt{-1}=i , tetapi sebenarnya sistem seperti di atas sebenarnya telah muncul secara alamiah, yaitu pada subhimpunan matriks. Perhatikan matriks berberbentuk \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} dengan a,b ∈R.
Matriks tersebut dapat ditulis sebagai \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a& 0\\ 0&a\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&-b\\b&0\end{pmatrix}
= a\begin{pmatrix}1& 0\\ 0&1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.
Kita mengetahui bahwa
(a) \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix} dan \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\  0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}0&-1\\ -1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&-1\\ -1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix} = –\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}

Sekarang tuliskan bahwa \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix} = 1 dan \begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix} = i , maka untuk sembarang matriks z berukuran 2x2 , serta i^2=-1, jadi sistem ini seperti yang kita inginkan.

About Fathurrahman

Seorang guru matematika, ingin mengabdi penuh terhadap dunia pendidikan ( berharap semoga jadi amal jariah, amin ). Berusaha belajar dan mencari nilai positif dari Internet. " ONE IS NEVER TO OLD TO LEARN "

Diskusi

Belum ada komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s